MECÂNICA GRACELI - QUÂNTICA DIMENSIONAL TENSORIAL DE CAMPOS [597]

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

[

$\psi ^{*}$

$TeoriaInteraçãomediadorMagnitude relativaComportamentoFaixaCromodinâmicaForça nuclear forteGlúon10411/r71,4 × 10-15 mEletrodinâmicaForça eletromagnéticaFóton10391/r2infinitoFlavordinâmicaForça nuclear fracaBósons W e Z10291/r5 até 1/r710-18 mGeometrodinâmicaForça gravitacionalgráviton101/r2infinito$

Teoria	Interação	mediador	Magnitude relativa	Comportamento	Faixa
Cromodinâmica	Força nuclear forte	Glúon	1041	1/r7	1,4 × 10-15 m
Eletrodinâmica	Força eletromagnética	Fóton	1039	1/r2	infinito
Flavordinâmica	Força nuclear fraca	Bósons W e Z	1029	1/r5 até 1/r7	10-18 m
Geometrodinâmica	Força gravitacional	gráviton	10	1/r2	infinito

Para um sistema físico composto por partículas de spin zero, existe um potencial de Coulomb blindado que é conhecido como potencial de Yukawa. Tal pontencial é da forma

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

$V\left(r\right)=-{\frac {g_{s}}{4\pi r}}e^{-{\frac {mrc}{\hbar }}}$

e que é, claramente, um potencial do tipo central. Na equação acima, $g_{s}$ é uma constante (positiva) de acoplamento que configura a intensidade da força efetiva, $�$ é a massa da partícula afetada pelo potencial, $�$ é a velocidade da luz e $\hbar$ a constante de Planck. Naturalmente, podemos mostrar que o potencial $V(r)$ está associada a uma força sempre atrativa.

A História

Hideki Yukawa (físico teórico japonês) mostrou na década de 1930 que tal potencial resulta da interação/troca de um campo escalar massivo como o campo de um bóson, também maciço. Uma vez que o mediador do campo correspondente tem um certo alcance, que é inversamente proporcional à massa do mediador de partícula $�$ ^[1]. Dado que o alcance aproximado da força nuclear era conhecido, a equação Yukawa poderia ser utilizada para prever o massa de repouso aproximada da partícula mediadora do campo de força, mesmo antes de ser descoberto. No caso da força nuclear, esta massa foi previsto ser cerca de 200 vezes a massa do elétron, e isto foi mais tarde considerado ser uma previsão da existência do píon, antes de ter sido detectado, em 1947.

Tal potencial tem várias aplicações, incluindo a interacção entre dois núcleos. Dois núcleos podem experimentar forte interação atrativa devido à taxa de câmbio pions carregados, semelhante à forma como duas partículas interagem eletromagneticamente através da troca de fótons. Como o campo eletromagnético é "transportado" por fótons, o campo piônico potencial, expressamente descrito por Yukawa, é "transportado" por pions.

Relação com o potencial de Coulomb

Potencial em função de r

Se tomarmos o limite $�$ → $0$ (ou até mesmo a igualdade) no potencial de Yukawa, nós temos

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

$V\left(r\right)=-{\frac {g_{s}}{4\pi r}}$

de modo que podemos identificar a equação acima, com a $g_{s}=Q/$ ε $_{0}$ , como o potencial de Coulomb. Diferentemente do potencial de Yukawa, podemos ver claramente que $V_{Coulomb}(r)$ decresce muito lentamente, enquanto que o potencial de Yukawa decresce muito rapidamente (a depender da massa m). Por essa razão, dizemos que o potencial de Yukawa é um potencial de curto alcance, enquanto que o potencial de Coulomb não é. No gráfico que é apresentado ao lado, podemos ver como o potencial de Yukawa comporta-se, com a distância $�$ , para diferentes valores de $�$ .

Em mecânica quântica, um propagador é uma função ou distribuição que descreve a amplitude da probabilidade de uma partícula se mover de uma posição para outra. Tecnicamente, é a função de Green para a equação do movimento.

Definição

Partícula não-relativística

O propagador $K(x,t;x',t')$ é uma função ou distribuição que verifica a seguinte equação:

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

\left(\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}-H\right)K(\mathbf {x} ,t;\mathbf {x} ',t')=\delta (x-x')\delta (t-t')

Aqui $�$ é o hamiltoniano e $\delta$ é a distribuição dirac.

Por exemplo, considere uma partícula não relativística livre. O propagador, portanto, verifica:

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

\left(\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\right)K(\mathbf {x} ,t;\mathbf {x} ',t')=\delta (x-x')\delta (t-t')

Para resolver isso, converta em momento- e espaço de frequência :

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

(\hbar \omega -\hbar ^{2}p^{2}/2m)K(\mathbf {p} ,\omega )=1

Seguindo-se que:

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

K(\mathbf {p} ,\omega )={\frac {1}{\hbar \omega -\hbar ^{2}p^{2}/2m}}

Converta de volta para posição e espaço-tempo:

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

K(\mathbf {x} ,t;\mathbf {x} ',t')=\int {\frac {\operatorname {d} ^{3}\!\mathbf {k} \;\operatorname {d} \!\omega }{(2\pi )^{4}}}\exp(\mathrm {i} (\mathbf {k} \cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')-\omega (t-t')))K(\mathbf {p} ,\omega )

A integral é ambígua, porque tem um pólo em

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

\omega =\hbar p^{2}/2m

Deve-se desambiguar a integral adicionando um infinitesimal, mas existem dois sinais possíveis (Por isso o propagador não é único). Ao adicionar um infinitesimal pode-se calcular:

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

K_{\pm }(\mathbf {x} ,t;\mathbf {x} ',t')

=\int {\frac {\operatorname {d} ^{3}\!\mathbf {k} \;\operatorname {d} \!\omega }{(2\pi )^{4}}}\exp(\mathrm {i} (\mathbf {k} \cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')-\omega (t-t'))){\frac {1}{\hbar \omega \pm \mathrm {i} \epsilon -\hbar ^{2}p^{2}/2m}}

=\mp {\frac {\mathrm {i} }{\hbar }}\theta (\pm t\mp t')\left({\frac {m}{2\pi \mathrm {i} \hbar (t-t')}}\right)^{3/2}\exp \left({\frac {\mathrm {i} m}{2\hbar (t-t')}}(\mathbf {x} -\mathbf {x} ')^{2}\right)

Onde:

\theta (x)={\begin{cases}1&{\text{se }}x>0\\0&{\text{se }}x<0\end{cases}}

Representa a função de Heaviside. A função $K_{+}$ chamada de propagador passado (retarded em inglês), porque $K_{+}(\mathbf {x} ,t;\mathbf {x} ',t')$ é diferente de zero apenas se $t>t'$ . Enquanto isso, a função $K_{-}$ é chamada de propagador futuro (advanced em inglês), porque $K_{-}(\mathbf {x} ,t;\mathbf {x} ',t')$ é diferente de zero apenas se $t<t'$ .

Partícula relativística

Usamos uma convenção de sinalização $+---$ para a métrica que, $x\cdot y=x^{0}y^{0}-\mathbf {x} \cdot \mathbf {y}$ .

Uma partícula escalar relativística verifica a equação de Klein-Gordon . Daí o propagador $K(x,y)$ de uma partícula escalar relativística é definido como a função de Green da equação de Klein-Gordon. Eis:

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

(\partial ^{2}+m^{2})K(x,y)=-\delta (x-y)

Para resolver, converte-se em momento linear:

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

(p^{2}-m^{2})K(p)=1

Então:

K(p)={\frac {1}{p^{2}-m^{2}}}

Converte-se de volta para o espaço de posição:

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

K(x,y)=\int {\frac {\operatorname {d} ^{4}\!p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {1}{p^{2}-m^{2}}}

A integral é ambígua porque tem dois pólos em:

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

p^{0}=\pm (\mathbf {p} ^{2}+m^{2})

Deve-se desambiguar a integral adicionando um infinitesimal. De acordo com a teoria da integral curvilínea, podemos subir ou descer em cada pólo. Portanto, existem quatro métodos diferentes para eliminar a ambiguidade da integral; o propagador não é único. Se subirmos pelos dois pólos, o passado (em inglês retarded) será encontrado:

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

K_{\mathrm {R} }(x,y)=\int {\frac {\operatorname {d} ^{4}\!p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {1}{(p_{0}+\mathrm {i} \epsilon )^{2}-\mathbf {p} ^{2}-m^{2}}}

={\begin{cases}\left(-\delta (s)+m\operatorname {J} _{1}(m{\sqrt {s}})/2{\sqrt {s}}\right)/2\pi &{\text{se }}x^{0}>y^{0}{\text{ kaj }}s\geq 0\\0&{\text{alie}},\end{cases}}

Onde $\operatorname {J} _{1}$ representa a função de Bessel de primeiro tipo e $s=(x-y)^{2}$ . Se descermos em ambos os pólos, o propagador futuro (advanced) será encontrado:

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

K_{\mathrm {A} }(x,y)=\int {\frac {\operatorname {d} ^{4}\!p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {1}{(p_{0}-\mathrm {i} \epsilon )^{2}-\mathbf {p} ^{2}-m^{2}}}

={\begin{cases}\left(-\delta (s)+m\operatorname {J} _{1}(m{\sqrt {s}})/2{\sqrt {s}}\right)/2\pi &{\text{se }}x^{0}<y^{0}{\text{ kaj }}s\geq 0\\0&{\text{alie}}.\end{cases}}

Se descermos pelo pólo esquerdo (em $p^{0}=-{\sqrt {\mathbf {p} ^{2}+m^{2}}}$ e para cima através do pólo direito (em

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

$p^{0}=+{\sqrt {\mathbf {p} ^{2}+m^{2}}}$ ), O propagador de Feynman será encontrado:

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

K_{\mathrm {F} }(x,y)=\int {\frac {\operatorname {d} ^{4}\!p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {\exp(-\mathrm {i} p\cdot (x-y))}{p^{2}-m^{2}+\mathrm {i} \epsilon }}

={\begin{cases}\left(-\delta (s)+m\operatorname {H} _{1}^{(1)}(m{\sqrt {s}})/2{\sqrt {s}}\right)/2\pi &{\text{se }}s\geq 0\\-\mathrm {i} m\operatorname {K} _{1}(m{\sqrt {-s}})/(4\pi ^{2}{\sqrt {-s}})&{\text{se }}s<0,\end{cases}}

Onde $\operatorname {H} _{1}^{(1)}$ representa a função de Hankel de primeiro tipo e $\operatorname {K} _{1}$ significa a função modificada de Bessel de segundo tipo. Se subirmos pelo pólo esquerdo e descermos pelo pólo direito, o propagador de Dyson encontrar-se-á:

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

K_{\mathrm {D} }(x,y)=\int {\frac {\operatorname {d} ^{4}\!p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {\exp(-\mathrm {i} p\cdot (x-y))}{p^{2}-m^{2}-\mathrm {i} \epsilon }}

={\begin{cases}\left(-\delta (s)+m\operatorname {H} _{1}^{(2)}(m{\sqrt {s}})/2{\sqrt {s}}\right)/2\pi &{\text{se }}s\geq 0\\\mathrm {i} m\operatorname {K} _{1}(m{\sqrt {-s}})/(4\pi ^{2}{\sqrt {-s}})&{\text{se }}s<0,\end{cases}}

Onde $\operatorname {H} _{1}^{(2)}$ representa a função de Hankel do segundo tipo .

Os quatro propagadores verificam as seguintes equações.

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

K_{\mathrm {R} }+K_{\mathrm {A} }=K_{\mathrm {F} }+K_{\mathrm {D} }

K_{\mathrm {R} }(x-y)=K_{\mathrm {A} }(y-x)

K_{\mathrm {F} }(x-y)=K_{\mathrm {F} }(y-x)=K_{\mathrm {D} }(x-y)^{*}

K_{\mathrm {D} }(x-y)=K_{\mathrm {D} }(y-x)=K_{\mathrm {F} }(x-y)^{*}

Além disso, os propagadores exprimem-se com valores esperados vazios de operadores de campo:

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

K_{\mathrm {R} }(x-y)=-\mathrm {i} \theta (x^{0}-y^{0})\langle 0|[\phi (x),\phi (y)]|0\rangle

K_{\mathrm {A} }(x-y)=\mathrm {i} \theta (y^{0}-x^{0})\langle 0|[\phi (x),\phi (y)]|0\rangle

K_{\mathrm {F} }(x-y)=-\mathrm {i} \langle 0|{\mathsf {T}}\{\phi (x)\phi (y)\}|0\rangle =-\mathrm {i} \theta (x^{0}-y^{0})\langle 0|\phi (x)\phi (y)|0\rangle -\mathrm {i} \theta (y^{0}-x^{0})\langle 0|\phi (y)\phi (x)|0\rangle

K_{\mathrm {D} }(x-y)=\mathrm {i} \langle 0|{\mathsf {T}}\{\phi (x)\phi (y)\}^{\dagger }|0\rangle =\mathrm {i} \theta (x^{0}-y^{0})\langle 0|\phi (y)\phi (x)|0\rangle +\mathrm {i} \theta (y^{0}-x^{0})\langle 0|\phi (x)\phi (y)|0\rangle

Partícula com rotação

Para uma partícula dirac $\psi$ seguindo a equação de dirac:

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

(\gamma \cdot \partial +m)\psi =0

o propagador é definido semelhantemente:

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

(\gamma \cdot \partial +m)K(x-y)=\delta (x-y)

No momento de espaço:

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

K_{\mathrm {F} }(p)={\frac {1}{\gamma \cdot p-m+\mathrm {i} \epsilon }}={\frac {\gamma \cdot p+m}{p^{2}-m^{2}+\mathrm {i} \epsilon }}

para o propagador de Feynman, etc.

Para uma partícula vetoral $�$ de massa zero (por exemplo, o fóton), existem vários ‘gauges’ possíveis. Um medidor simples é o medidor de Lorenz $\partial \cdot A=0$ . Portanto, a partícula segue as equações de Maxwell com um termo gaussiano:

\partial ^{2}A_{\mu }=0

O propagador é definido de forma semelhante:

\partial ^{2}K_{\mu \nu }(x-y)=\delta (x-y)

No momento linear do espaço o propagador (de Feynman, etc.) é:

$equação Graceli estatística tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

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K_{\mathrm {F} \mu \nu }(p)={\frac {-g_{\mu \nu }}{p^{2}+\mathrm {i} \epsilon }}

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